⑴弹力只可能向下，如绳拉球。这种情况下有

F+mg=-mg

即v-，否则不能通过最高点。

⑵弹力只可能向上，如车过桥。在这种情况下有

mg-F=-mg，∴v-，否则将离开桥面，做平抛运动。

⑶弹力既可能向上又可能向下，如管内转(或杆连球)。这种情况下，速度大小v可以取任意值。可以进一步讨论：①当v>-时弹力必然是向下的；当v<-时弹力必然是向上的；当v=-时弹力恰好为零。②当弹力大小Fmg时，向心力只有一解：F+mg；当弹力F=mg时，向心力等于零。

例9.杆长为L，球的质量为m，杆连球在竖直平面内绕轴O自由转动，已知在最高点处，杆对球的弹力大小为F=1/2mg，求这时小球的即时速度大小。

解：小球所需向心力向下，本题中F=1/2mg＜mg，所以弹力的方向可能向上也可能向下。⑴若F向上，则mg-F=-，v=-⑵若F向下，则mg+F=-，v=-

本题是杆连球绕轴自由转动，根据机械能守恒，还能求出小球在最低点的即时速度。

特别需要注意的是：若题目中说明小球在杆的带动下在竖直面内做匀速圆周运动，则运动过程中小球的机械能不再守恒，这两类题务必分清。

5.万有引力 人造卫星(牛顿第二定律在天体问题中的应用)

 (1)用万有引力定律求中心星球的质量和密度

当一个星球绕另一个星球做匀速圆周运动时，设中心星球质量为M，半径为R，环绕星球质量为m，线速度为v，公转周期为T，两星球相距r，由万有引力定律有：-=-=mr--，可得出M=-=-，由r、v或r、T就可以求出中心星球的质量；如果环绕星球离中心星球表面很近，即满足r≈R，那么由M=ρ-R3可以求出中心星球的平均密度ρ。

 (2)双星

宇宙中往往会有相距较近，质量可以相比的两颗星球，它们离其他星球都较远，因此其他星球对他们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将围绕它们连线上的某一固定点做同周期的匀速圆周运动。这种结构叫做双星。

①由于双星和该固定点总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必相等，即双星做匀速圆周运动的角速度必相等，因此周期也必然相同。

②由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等，由F=mrω2可得r∝-，于是有r1=-L，r2=-L

③列式时须注意：万有引力定律表达式中的r表示双星间的距离，按题意应该是L，而向心力表达式中的r表示它们各自做圆周运动的半径，在本题中为r1、r2，千万不可混淆。

(3)人造卫星(只讨论绕地球做匀速圆周运动的人造卫星)

①人造卫星的线速度和周期。人造卫星的向心力是由地球对它的万有引力提供的，因此有：-=-=mr--，由此可得到两个重要的结论：v=-∝-和T=2-∝-。可以看出，人造卫星的轨道半径r、线速度大小v和周期T是一一对应的，其中一个量确定后，另外两个量也就唯一确定了。离地面越高的人造卫星，线速度越小而周期越大。

②近地卫星。近地卫星的轨道半径r可以近似地认为等于地球半径R，又因为地面附近g=-，所以有v=-=7.9×103m/s，T＝2-=5.1×103s=85min。它们分别是绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的最大线速度和最小周期。

③同步卫星。“同步”的含义就是和地球保持相对静止(又叫静止轨道卫星)，所以其周期等于地球自转周期，既T=24h，根据⑴可知其轨道半径是唯一确定的，经过计算可以求得同步卫星离地面的高度为h=3.6×107m≈5.6R地，而且该轨道必须在地球赤道的正上方，卫星的运转方向必须是由西向东。

例10.“神舟三号”顺利发射升空后，在离地面340km的圆轨道上运行了108圈。运行中需要多次进行 “轨道维持”。所谓“轨道维持”就是通过控制飞船上发动机的点火时间和推力的大小方向，使飞船能保持在预定轨道上稳定运行。如果不进行轨道维持，由于飞船受轨道上稀薄空气的摩擦阻力，轨道高度会逐渐降低，在这种情况下飞船的动能、重力势能和机械能变化情况将会是

A.动能、重力势能和机械能都逐渐减小

B.重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能不变

C.重力势能逐渐增大，动能逐渐减小，机械能不变

D.重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能逐渐减小

解：由于阻力很小，轨道高度的变化很慢，卫星运行的每一圈仍可认为是匀速圆周运动。由于摩擦阻力做负功，根据机械能定理，卫星的机械能减小；由于重力做正功，根据势能定理，卫星的重力势能减小；由v=-∝-可知，卫星动能将增大。这也说明该过程中重力做的功大于克服阻力做的功，外力做的总功为正。答案选D

例11. 如图所示，某次发射同步卫星时，先进入一个近地的圆轨道，然后在P点点火加速，进入椭圆形转移轨道(该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P，远地点为同步轨道上的Q)，到达远地点时再次自动点火加速，进入同步轨道。设卫星在近地圆轨道上运行的速率为v1，在P点短时间加速后的速率为v2，沿转移轨道刚到达远地点Q时的速率为v3，在Q点短时间加速后进入同步轨道后的速率为v4。试比较v1、v2、v3、v4的大小，并用小于号将它们排列起来______。

解：根据题意在P、Q两点点火加速过程中，卫星速度将增大，所以有v2>v1、v4>v3，而v1、v4是绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的线速度，由于它们对应的轨道半径r1< r4，所以v1>v4。把以上不等式连接起来，可得到结论：v2>v1>v4>v3。(卫星沿椭圆轨道由P→Q运行时，由于只有重力做负功，卫星机械能守恒，其重力势能逐渐增大，动能逐渐减小，因此有v2>v3。)

例12.欧洲航天局用阿里亚娜火箭发射地球同步卫星。该卫星发射前在赤道附近(北纬5°左右)南美洲的法属圭亚那的库卢基地某个发射场上等待发射时为1状态，发射到近地轨道上做匀速圆周运动时为2状态，最后通过转移、调试，定点在地球同步轨道上时为3状态。

将下列物理量按从小到大的顺序用不等号排列：

①这三个状态下卫星的线速度大小______；

②向心加速度大小______；

③周期大小______。

解：①比较2、3状态，都是绕地球做匀速圆周运动，因为r2

②比较2、3状态，都是绕地球做匀速圆周运动，因为r2

③比较1、2状态，可以认为它们轨道的周长相同，而v1

本章在力学中称为动力学，它与运动学的内容密切相关，运动学的任务是研究不同运动形式的规律，即解决运动的描述。而动力学的任务则是回答物体做各种不同运动的原因，即解决运动和力的关系。

第二定律说明了力的作用效果之一是产生加速度，并说明了力和加速度的瞬时关系，质点什么时候受合外力作用，什么时候就具有加速度，什么时候外力撤销，什么时候的加速度就为零。加速度与合外力的作用时间无关，与物体原来的运动状态无关。

这个定律还提供了测量质量的方法，也反映了质量是物体惯性的量度。不同质量的物体，在相同外力的作用下，质量大的物体产生的加速度小，这说明改变它的运动状态不容易。所以惯性不仅是物体保持原来运动状态的属性，也表示了改变物体运动状态的难易程度。

运动学和动力学的结合，实质上是把为什么运动和怎么运动联系了起来，二者的纽带就是加速度a。在研究物体运动时一定要牢记这一观点，解决问题时，一定要抓住加速度a这个主要矛盾，其他问题就好解决了。

牛顿运动定律不仅仅在解决直线用动中有着重要的地位，在曲线运动及天体运动，甚至是今后要着重复习的电磁场中都有着非常重要的作用，它是解决所有物体受力及相关运动的重要纽带。