一、传播方向导致的多解问题

波源起振后产生的波可以在介质中向四周传播，若题中没有特别注明传播方向，则求解时必须讨论其传播方向，从而导致了波的多解问题。

例1.(1987年全国高考卷)如图1(甲)所示，绳中有一列正弦横波，沿x轴传播，a b是绳上两点，它们在x轴上的距离小于一个波长，当a点振动到最高点时，b点恰好经过平衡位置向上运动，试在图上a、b之间画出波形图。

分析：本题没有注明波的传播方向，所以需分波向+x轴，-x轴方向传播讨论。由于a、b间距离小于一个波长，因此a、b间不足一个波形，其图象如图1(乙)所示，其中①为波向+x轴传播时的波形，因为a、b间不足一个波形且要满足当a点振动到最高点时，b点恰好经过平衡位置向上运动的条件的波形只能是1/4波形。②为波沿-x轴传播时的波形。因为a、b间不足一个波形且要满足当a点振动到最高点时，b点恰好经过平衡位置向上运动的条件的波形只能是3/4个波形。

二、波长大小导致的多解问题

因题设中没有给定波长的确切条件，故引起答案的不确定性导致多解问题。

例2.(1996年全国卷)如图2(甲)所示，一根张紧的水平弹性长绳上的a、b两点，相距14.0m，b点在a点右方，当一列简谐横波沿此绳向右传播时，若a点位移达到正向极大时，b点位移恰好为零，且向下运动，经过1.00s后，a点位移为零，且向下运动，而b点的位移恰好达到负向极大，则这列简谐波的波速可能等于()

A.4.67m/sB.6m/sC.10m/sD.14m/s

分析：此题虽然已说明了波的传播方向，但满足题设条件的a、b两点间可以有无数个不同波形，如图2(乙)中的b1、b2、b3……等。只可写出a、b间距的通式：

sab=3

4λ+nλ(n=0、1、2……)，

同时考虑波动的周期性，即1s至少为1/4周期，即

t=mT+1

4T(m=1、2、3……)，

即波速可以表示为

v=λT=14(4m+1)

4n+3(公式中m、n均为独立变量)，从而波速的答案也是系列解答。经求解当n=m=0时，v=4.67m/s，当n=m=1时，v=10m/s，所A、C为正确答案。

三、波的周期性导致的多解问题

简谐机械波的波形是周期性重复出现的，每经过一个周期波形图与原图形重复，从而导致了问题的多解性。

例3.(1996年上海卷)一列横波在某时刻的波形图如图3中实线所示，经2×10-2s后波形如图中虚线所示，则该波的波速v和频率f可能是()

A.v=5m/sB.v=45m/sC.f=50HzD.f=37.5Hz

分析：此题波的传播方向不确定，需分向+x轴和向-x轴传播两种情况讨论。另外由于波形的周期性导致了传播波形的不确定性，若波向+x轴传播，传播的距离s=14λ+nλ(n=0、1、2……)，若向-x轴传播，传播距离s=34λ+nλ(n=0、1、2……)，通过求解可得出正确的答案。

解答：若波向+x轴传播，有

v=st=14λ+nλ2×10-2m/s=20(14+n)m/s，

f=vλ=20(1

4+n)0.4

Hz=50(14+n)Hz，

当n=0时，v=5m/s，n=2时，v=45m/s

若波向-x轴传播，有

v=st=34λ+nλ2×10-2m/s=20(34+n)m/s，

f=vλ=20(3

4+n)0.4

Hz=50(34+n)Hz，

当n=0时，f=37.5Hz。所以正确答案是A、B、D。

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